La loi des gaz parfaits - PV = nRT
Comment pression, volume et température d'un gaz sont liés - et pourquoi un pneu chauffe au soleil
§1.Le gaz parfait : un modèle puissant
Un gaz parfait est un modèle idéalisé dans lequel les molécules sont des points sans volume propre, sans interactions entre elles (pas d'attraction ni de répulsion), et dont toutes les collisions (entre molécules et avec les parois) sont parfaitement élastiques. Ce modèle paraît simplifié, mais il décrit étonnamment bien le comportement des gaz réels à pressions modérées et hautes températures.
La pression d'un gaz est la force moyenne que ses molécules exercent sur les parois du récipient par unité de surface. Plus les molécules vont vite (haute température) et plus elles sont nombreuses dans un espace réduit (haute concentration), plus la pression est élevée. Toute la loi des gaz parfaits découle de ce raisonnement microscopique.
§2.La loi des gaz parfaits
Pour un gaz parfait, le produit de la pression par le volume est égal au nombre de moles multiplié par la constante des gaz parfaits et par la température absolue.
Variables
- Pression- Pa (pascal)1 atm = 101 325 Pa
- Volume- m³1 L = 0,001 m³
- Quantité de matière- mol
- Constante universelle des gaz parfaits- 8,314 J/(mol·K)
- Température absolue- KT(K) = T(°C) + 273,15
- -PV/nT = R = constante. Toute transformation qui conserve n maintient le rapport PV/T constant.
- -À température et quantité de matière constantes : PV = cte (loi de Boyle-Mariotte).
- -À volume constant : P/T = cte (loi de Gay-Lussac/Amontons).
- -À pression constante : V/T = cte (loi de Charles).
- -ATTENTION : T doit toujours être en kelvins (K), jamais en °C, sinon les formules sont fausses.
§3.Les trois lois dérivées
- Loi de Boyle-Mariotte (T et n constants)
- P₁V₁ = P₂V₂. Si on comprime un gaz (V diminue) à température constante, la pression augmente proportionnellement.
- Exemple. Une seringue bouchée : tu enfonces le piston (V↓) → tu sens la résistance augmenter (P↑). Doubler la pression divise le volume par 2.
- Loi de Gay-Lussac (V et n constants)
- P₁/T₁ = P₂/T₂. À volume constant, la pression est proportionnelle à la température absolue.
- Exemple. Un autocuiseur : chauffer l'eau vaporisée (T↑) augmente la pression (P↑) jusqu'à la valve de sécurité. Un pneu en plein soleil à Dakar : T peut passer de 300 K (27°C) à 340 K (67°C) → P augmente de ~13%.
- Loi de Charles (P et n constants)
- V₁/T₁ = V₂/T₂. À pression constante, le volume d'un gaz est proportionnel à sa température absolue.
- Exemple. Un ballon de baudruche chauffé : il gonfle. Refroidi dans de l'eau glacée : il se ratatine. Un ballon météo : il gonfle en montant dans l'atmosphère (P diminue, V augmente à T quasi-constante).
§4.Interprétation moléculaire - la théorie cinétique
- La pression microscopique
- La pression résulte des chocs des molécules contre les parois. Chaque choc = une impulsion. La pression moyenne est proportionnelle à la fréquence des chocs × l'impulsion moyenne de chaque choc.
- Exemple. Plus de molécules dans le même volume → plus de chocs par seconde → pression plus élevée. Même résultat si on réduit le volume (les molécules font plus souvent le tour).
- La température = agitation moléculaire
- La température absolue T est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des molécules : Eₖ_moy = (3/2)·k_B·T. Plus T est élevée, plus les molécules vont vite, plus leurs chocs sur les parois sont intenses.
- Exemple. À 0 K (−273°C), les molécules ne bougent plus (énergie cinétique nulle). C'est le zéro absolu - on ne peut jamais l'atteindre exactement.
- Vitesse quadratique moyenne
- v_rms = √(3RT/M) où M est la masse molaire. Les molécules légères vont plus vite que les lourdes à la même température.
- Exemple. À 25°C : H₂ (M=2 g/mol) → v ≈ 1930 m/s. O₂ (M=32 g/mol) → v ≈ 482 m/s. N₂ (M=28 g/mol) → v ≈ 515 m/s (composition de l'air).
§5.Transformations thermodynamiques de base
| Transformation | Contrainte | Loi | Graphe P-V |
|---|---|---|---|
| Isotherme | T = cte | PV = cte (Boyle) | Hyperbole |
| Isochore | V = cte | P/T = cte (Gay-Lussac) | Droite verticale |
| Isobare | P = cte | V/T = cte (Charles) | Droite horizontale |
| Adiabatique | Q = 0 | PV^γ = cte | Courbe plus raide que l'isotherme |
γ = Cp/Cv ≈ 1,4 pour l'air diatomique. La transformation adiabatique est plus raide car sans échange de chaleur, le gaz se refroidit en se détendant.
À retenir
- Loi des gaz parfaits : PV = nRT. Valable en kelvins TOUJOURS. R = 8,314 J/(mol·K).
- Boyle-Mariotte (T = cte) : P₁V₁ = P₂V₂. Gay-Lussac (V = cte) : P₁/T₁ = P₂/T₂. Charles (P = cte) : V₁/T₁ = V₂/T₂.
- La pression est causée par les chocs moléculaires sur les parois. La température mesure l'agitation moléculaire.
- Eₖ_moy = (3/2)k_BT. À T = 0 K (zéro absolu), plus aucun mouvement thermique - impossible à atteindre.
- Gaz réel ≈ gaz parfait aux pressions modérées et hautes températures.
- Pièges : T doit être en kelvins. PV/nT = R = constante pour toute transformation sans réaction chimique.