Le circuit RLC et les oscillations libres
Période propre, amortissement et régimes
§1.Le circuit LC idéal : des oscillations libres
- Le point de départ
- Un condensateur chargé sous u₀ est branché sur une bobine. Il se décharge dans la bobine, qui s'oppose à la variation du courant et emmagasine l'énergie sous forme magnétique. Puis la bobine restitue cette énergie et recharge le condensateur… en sens inverse.
- Exemple. Le cycle se répète : c'est un oscillateur électrique, l'équivalent d'une masse sur un ressort.
- La bobine
- Composant caractérisé par son inductance L (en henrys). Elle s'oppose aux variations du courant : u_L = L·di/dt. Le courant dans une bobine ne peut pas varier brutalement (comme la tension d'un condensateur).
- Échange d'énergie
- L'énergie totale E = q²/(2C) + L·i²/2 bascule entre le condensateur (électrique) et la bobine (magnétique). Sans résistance, elle est constante.
§2.Période propre et amortissement
La période des oscillations libres ne dépend que de l'inductance et de la capacité.
Variables
- Période propre- s (seconde)
- Inductance de la bobine- H (henry)
- Capacité du condensateur- F (farad)
- -Pulsation propre : ω₀ = 1/√(LC), avec T₀ = 2π/ω₀.
- -Coefficient d'amortissement : α = R/(2L). C'est lui qui décide du régime.
- -Avec L = 1 H et C = 10 µF : T₀ ≈ 19,9 ms — les oscillations sont bien trop rapides pour l'œil.
§3.Les trois régimes selon R
La résistance dissipe l'énergie en chaleur : les oscillations s'amortissent. Tout dépend de la comparaison entre α = R/(2L) et ω₀ = 1/√(LC).
Si α < ω₀ (R petite) : régime PSEUDO-PÉRIODIQUE. Le circuit oscille, mais l'amplitude décroît dans une enveloppe exponentielle ±u₀·e^(−αt). La pseudo-période T = 2π/√(ω₀²−α²) est légèrement supérieure à T₀.
Si α = ω₀, soit R = R_c = 2√(L/C) : régime CRITIQUE. C'est la frontière : le circuit revient à l'équilibre le plus vite possible, sans osciller une seule fois.
Si α > ω₀ (R grande) : régime APÉRIODIQUE. Pas d'oscillation non plus, mais le retour à l'équilibre est lent — la résistance freine tout.
À retenir
- Un condensateur qui se décharge dans une bobine oscille : période propre T₀ = 2π√(LC).
- Trois régimes selon R : pseudo-périodique (R < R_c), critique (R = R_c), apériodique (R > R_c).
- Résistance critique R_c = 2√(L/C) : retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation.
- L'énergie E = q²/(2C) + L·i²/2 bascule entre C et L ; R la dissipe en chaleur.
- Analogie mécanique : L ↔ masse, 1/C ↔ raideur, R ↔ frottement.
- Dipôle RL sous échelon : i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)) avec τ = L/R.